Jawab:
Himpunan
Pernyataan yang akan dibuktikan:
Misalkan [tex]A[/tex] dan [tex]B[/tex] himpunan, buktikan bahwa [tex]A\subseteq B[/tex] jika dan hanya jika [tex]A\cap B=A[/tex].
Dalam notasi matematis, pernyataan tersebut dapat diwakili oleh:
[tex]A\subseteq B\iff A\cap B=A[/tex]
Sebelum melakukan pembuktian, mari ingat kembali beberapa definisi berikut ini.
- Himpunan Bagian
[tex]A\subseteq B\ \overset{\rm {de}f}{=\joinrel=}\ \forall x\,(x\in A\implies x\in B)[/tex]
Himpunan [tex]A[/tex] merupakan himpunan bagian dari [tex]B[/tex], berarti untuk setiap [tex]x[/tex], jika [tex]x[/tex] adalah anggota himpunan [tex]A[/tex], maka [tex]x[/tex] juga merupakan anggota himpunan [tex]B[/tex]. - Irisan Himpunan
[tex]A\cap B\ \overset{\rm {de}f}{=\joinrel=}\ \{x:x\in A\ {\rm dan}\ x\in B\}[/tex]
Irisan dari himpunan [tex]A[/tex] dan [tex]B[/tex] adalah himpunan yang beranggotakan semua anggota himpunan [tex]A[/tex] yang sekaligus merupakan anggota himpunan [tex]B[/tex]. - Kesamaan Dua Himpunan
[tex]A=B\overset{\rm {de}f}{\iff}A\subseteq B\ {\rm dan}\ B\subseteq A[/tex]
Himpunan [tex]A[/tex] sama dengan himpunan [tex]B[/tex] jika dan hanya jika himpunan [tex]A[/tex] merupakan himpunan bagian dari himpunan [tex]B[/tex], dan himpunan [tex]B[/tex] merupakan himpunan bagian dari himpunan [tex]A[/tex].
Pembuktian
Perhatikan bahwa hubungan “jika dan hanya jika” adalah biimplikasi, sehingga pembuktian yang valid harus melibatkan 2 arah pembuktian, yaitu:
- dari ruas kiri ke kanan:
[tex]A\subseteq B\implies A\cap B=A[/tex]
- dari ruas kanan ke kiri:
[tex]A\cap B=A\implies A\subseteq B[/tex]
Pembuktian Pertama: [tex]A\subseteq B\implies A\cap B=A[/tex]
Asumsikan [tex]A\subseteq B[/tex]. ....(1.1)
Jika [tex]x \in A\cap B[/tex], maka berdasarkan definisi irisan himpunan, [tex]x \in A[/tex] dan [tex]x\in B[/tex]. Secara khusus, [tex]x \in A[/tex].
Hal ini membuktikan bahwa [tex]A\cap B\subseteq A[/tex]. ....(1.2)
Sedangkan jika [tex]x \in A[/tex], maka berdasarkan asumsi (1.1) juga berlaku [tex]x \in B[/tex]. Karena [tex]x \in A[/tex] dan [tex]x \in B[/tex], maka [tex]x \in A\cap B[/tex].
Hal ini membuktikan bahwa [tex]A\subseteq A\cap B[/tex] ....(1.3)
Dari (1.2) dan (1.3):
[tex]\begin{aligned}&\left[\begin{array}{c}A\cap B\subseteq A\\{\rm dan}\\A\subseteq A\cap B\end{array}\right]\iff A\cap B=A\end{aligned}[/tex]
Dengan demikian, berdasarkan asumsi (1.1), terbukti bahwa:
[tex]\boxed{\ A\subseteq B\implies A\cap B=A\ }[/tex]
Pembuktian Kedua: [tex]A\cap B=A\implies A\subseteq B[/tex]
Asumsikan [tex]A\cap B=A[/tex]. ....(2.1)
Jika [tex]x \in A[/tex], maka berdasarkan asumsi (2.1), [tex]x\in A\cap B[/tex], dan ini berarti [tex]x\in A[/tex] dan [tex]x\in B[/tex] sesuai definisi irisan himpunan. Secara khusus, [tex]x \in B[/tex].
Hal ini membuktikan bahwa [tex]A\subseteq B[/tex] sesuai definisi himpunan bagian.
Dengan demikian, berdasarkan (2.1) dan (2.2), terbukti bahwa:
[tex]\boxed{\ A\cap B=A\implies A\subseteq B\ }[/tex]
KESIMPULAN
Telah ditunjukkan bahwa [tex]A\subseteq B\implies A\cap B=A[/tex] (pembuktian pertama) dan [tex]A\cap B=A\implies A\subseteq B[/tex] (pembuktian kedua). Oleh karena itu, terbukti benar bahwa:
[tex]\boxed{\ A\subseteq B\iff A\cap B=A\ }[/tex]
atau [tex]A\subseteq B[/tex] jika dan hanya jika [tex]A\cap B=A[/tex].
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
